高等数学【上】

函数的概念与特性

函数

函数的概念与特性：按照对应

法则x在给定的所有集里都有唯一的y与之对应，称为y为x的函数，x是自变量y是因变量，集是定义域

$y=f(x) \ \ \ y因变量，f( )对应法则，x自变量$

分子有理化

指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。

$单项式： \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}\\ 二项式： \frac{1}{\sqrt{a}+b}=\frac{(\sqrt{a}-b)}{(\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)}=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}$

一般运算

$\begin{cases} y=ln(x+1)\\ e^y=e^{ln(x+1)}\\ e^y=x+1 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ u^v=e^{lnu^v}=e^{vlnu},u和v都是函数\\ =====================================\\ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}(-1\le x \le1)\\ 证：(arcsinx+arccosx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0\\ arcsinx+arccosx=C\\ x=0时C=\frac{\pi}{2}\\ =====================================\\ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}(-\infty\lt x \lt\infty)\\ 证：同理$

对数运算法则

$log_a(MN)=log_aM+log_aN\\ log_a(\frac{M}{N})=log_aM-log_aN\\ log_aM^n=nlog_aM\\ ln\frac{1}{x}=-lnx\\ ln\sqrt{x}=lnx^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}lnx\\ ln(1+\frac{1}{x})=ln\frac{x+1}{x}=ln(x+1)-lnx$

一元二次方程

$ax^2+bx+c=0\\ 求根x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ 韦达定理x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}\\ 判别式\Delta=b^2-4ac,\Delta>0俩不等实根\Delta=0俩等实根\Delta<0无实根俩共轭复根\\ 顶点(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$

因式分解公式

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \ , \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \ , \ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}{b^k},C可以使用杨辉三角\begin{cases}C_0^0=1\\C_1^0,C^1_1=1,1\\C_2^0,C^1_2C^2_2=1,2,1\\...\end{cases}\\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \ , \ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\\ a^n+b^n=(a-b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1})$

阶乘与双阶乘

$0!=1\\ n!=1·2·3·...·n\\ (2n)!!=2·4·6·...·(2n)=2^n·n!\\ (2n-1)!!=1·3·5·...·(2n-1)\\ 华里士公式用到双阶乘$

不等式

$|a\pm b|\le|a|+|b|,||a|-|b||\le|a-b|,拓展\begin{cases}|a_1\pm a_2\pm...\pm a_n|\le|a_1|+|a_2|+...+|a_n|\\ |\int_{a}^{b}f(x)dx|\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx\end{cases}\\ \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},(a,b>0)\\ \sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}},(a,b,c>0)\\ a>b>0则\begin{cases}n>0,a^n>b^n\\n<0,a^n<b^n\end{cases}\\ 0<a<x<b,0<c<y<d,\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}\\ sinx<x<tanx(0<x<\frac{\pi}{2})\\ sinx<x(x>0)\\ arctanx\le x\le arcsinx(0\le x\le 1)\\ e^x\ge x+1\\ x-1\ge ln x(x>0)\\ \frac{1}{1+x}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

反函数

概念：y=f(x)如果y对应的每一个定义域，都有x对应的值域则x=φ(y)为反函数严格单调函数必有反函数，有反函数不一定严格单调

函数和反函数关于y=x对称是字母互换的结果

$y=2x \ => \ x=\frac{1}{2}y \ \ 这两个函数图像是一个\\ 字母互换 y=\frac{1}{2}x和y=2x关于y=x对称$

复合函数

$y=f(u),u=g(x) =>y=f[g(x)](x\in D)叫复合函数$

第一题

$设f(x)=x^2,f[\varphi(x)]=-x^2+2x+3,且\varphi(x)\ge0，求\varphi(x)及其定义域与值域\\ 解：f[\varphi(x)]=\varphi^2(x)=-x^2+2x+3\\ \sqrt{\varphi^2(x)}=\sqrt{-x^2+2x+3} \\ \varphi(x)=\sqrt{-x^2+2x+3} \\ 根号下不为零：-x^2+2x+3\ge0=>x\in[-1,3]\\ \varphi(x)=\sqrt{-(x-1)^2+4}\\ (x-1)^2越小\varphi(x)越大，反之亦然\\ x=1,\varphi(x)=2\\ x=-1或3，\varphi(x)=0 \\ \varphi(x)\in[0,2]$

第二题

$求函数y=f(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})的反函数f^{-1}(x)的表达式及其定义域\\ \\ 解：y=ln(x+\sqrt{x^2+1})\\ e^y=x+\sqrt{x^2+1} \ \ ,fun1\\ -y=-ln(x+\sqrt{x^2+1})=ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=ln(\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{1})\\ e^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x \ \ ,fun2\\ fun1-fun2=\frac{e^y-e^{-y}}{2}=x\\ 所以:x=f^{-1}(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\ 则:y=f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

拓展

$y=ln(x+\sqrt{x^2+1})$

这个函数叫反双曲

正弦

$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

这个函数叫双曲正弦

$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

这个函数叫双曲余弦，悬链线的一种

第三题

$将下列各组函数f(x)与\varphi(x)复合，求复合函数f[\varphi(x)]\\ f(x)=\begin{cases} 2-x,x\le0\\ x+2,x\gt0\\ \end{cases}\\ \varphi(x)=\begin{cases} x^2,x\lt0\\ -x,x\ge0\\ \end{cases}$

解法如下：

$1，解 \ \ 广义化f:[\varphi(x)]=\begin{cases} 2-\varphi(x),\varphi(x)\le0\\ \varphi(x)+2,\varphi(x)\gt0 \end{cases}$

画图：

$如图当\varphi(x)\ge0时x的范围为大于等于零，推出\\ f[\varphi(x)]=\begin{cases} 2-(-x),x\ge0\\ x^2+2,x\lt0 \end{cases}$

特性

有界性

有界无界指明区间

有界是指的纵坐标上有限度

单调性

区间内自变量增减函增（单调增）

区间内自变量减函数减（单调减）

判断方法:

f’(x)>0 单调增

f’(x)<0 单调减

$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 \ \ 单调增\\ (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0 \ \ 单调减\\ (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\ge0 \ \ 单调不减\\ (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\le0 单调不增$

奇偶性

奇函数关于原点对称

f(-x)=-f(x)

$F_1=f(x)-f(-x) \ \ 必为奇函数 \\ f(0)=0$

偶函数关于y轴对称

f(-x)=f(x)

$F_1=f(x)+f(-x) \ \ 必为偶函数\\ f'(0)=0$

关于x=T对称则：f(x)=f(2T-x)或f(T+x)=f(T-x)

周期性

重要结论

若f(x)是可导偶函数，则f’(x)是奇函数

若f(x)是可导奇函数，则f’(x)是偶函数

若f(x)是可导的周期为T，则f’(x)也是周期为T

连续的奇函数的一切原函数都是偶函数

连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数

若f(x)在有限区间（a,b）内可导且f’(x)有界，则f(x)在（a,b）内有界

$若连续函数f(x)以T为周期且\int_0^Tf(x)dx=0,则f(x)的一切原函数也以T为周期$

函数图像

函数图像

lnx

kf(x)伸缩变换，k>1,纵坐标变大，0<k<1,纵坐标变小，横坐标都不变

幂函数

$研究\sqrt{x}或 \sqrt[3]{x}等最值只需要研究x即可\\ 研究|u|=\sqrt{x^2}最值只要研究x^2\\$

$研究\frac{1}{x}最值只要研究x，x最大\frac{1}{x}最小\\ u_1u_2...u_n=u研究\sum\limits_{i=1}^{n}u_i=lnu$

指数函数

幂指函数

$x^x极小值点\frac{1}{e}$

三角函数

特殊值：

$sin0=0 \ \ \ \ \ \ sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \ \ \ \ \ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\\ sin\frac{\pi}{2}=1 \ \ \ \ \ \ sin\pi=1 \ \ \ \ \ \ sin\frac{3\pi}{2}=-1\ \ \ \ \ \ sin2\pi=0\\ cos0=1 \ \ \ \ \ \ cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2} \ \ \ \ \ \ cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \ \ \ \ \ \ cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\\ cos\frac{\pi}{2}=0 \ \ \ \ \ \ cos\pi=-1 \ \ \ \ \ \ cos\frac{3\pi}{2}=0 \ \ \ \ \ \ cos2\pi=1$

特殊值

$tan0=0 \ \ \ \ \ \ tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3} \ \ \ \ \ \ tan\frac{\pi}{4}=1 \ \ \ \ \ \ tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\\ lim_{\frac{\pi}{2}}tanx=\infty \ \ \ \ \ \ tan\pi=0 \ \ \ \ lim_{\frac{3\pi}{x}}tanx=\infty \ \ \ \ \ tan2\pi-0\\ lim_0cotx=\infty \ \ \ \ \ \ cot\frac{\pi}{6}={\sqrt3} \ \ \ \ \ \ cot\frac{\pi}{4}=1 \ \ \ \ \ \ cot\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{3}\\ cot{\frac{\pi}{2}}=\infty \ \ \ \ \ \ lim_\pi cotx=\infty \ \ \ \ cot\frac{3\pi}{2}=\infty \ \ \ \ \ lim_{2\pi} cotx=\infty$

$secx=\frac{1}{cosx},cscx=\frac{1}{sinx},取倒数画图$

特殊值

$arcsin0=0 \ \ \ \ arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \ \ \ \ arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4} \ \ \ \ arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3} \ \ \ \ arcsin1=\frac{\pi}{2} \\ arccos1=0 \ \ \ \ arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6} \ \ \ \ arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4} \ \ \ \ arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3} \ \ \ \ arccos0=\frac{\pi}{2} \\$

分段函数

$y|x|=\begin{cases} x,x\ge0\\ -x,x\lt0 \end{cases}$

$y=sgnx=\begin{cases} 1,x\gt0\\ x,x=0\\ -1,x\lt0 \end{cases}$

取整函数

向下取整，[0.99]=0,[-0.99]=-1

$x-1<[x]\le x\\ lim_o^+=0,lim_0^-=1$

向上取整，[0.99]=1,[-0.99]=0

$x<[x]\le x+1\\ lim_o^+=1,lim_0^-=0$

图像变换

平移

平移变换

左加右减

f(x+x₀)左平移，f(x-x₀)右平移

上加下减

f(x)+y上平移，f(x)-y下平移

对称变换

-f(x)关于x轴对称

f(-x)关于y轴对称

|f(x)|x轴下方的部分去掉关于x对称

f(|x|)y轴左方的部分去掉关于y对称

伸缩变换

f(kx)当k>1缩短到原来的1/k

f(kx)当0<k<1身长的原来的1/k

kf(x)y轴方向增加k倍

极坐标系

心形线（外摆线）

$r=a(1-cos\theta)(a>0)$

画图描点

$\theta \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \frac{\pi}{12} \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{4} \ \ \ \ \\ r \ \ 0 \ \ \frac{2-\sqrt{3}}a \ \ \ \ \frac{2-\sqrt{2}}{2}a$

图像

$2(1-cos\theta)$

$蓝2(1-cos\theta)\\ 红1-cos\theta\\ 紫1-2cos\theta\\ 白1-cos2\theta$

玫瑰线

$r=asinθ(a>0)$

画图使用描点法

$\theta \ \ 0 \ \ \frac{\pi}{12} \ \ \frac{\pi}{6} \ \ \frac{\pi}{4} \ \ \frac{\pi}{3} \ \ \frac{5\pi}{12} \ \ \frac{\pi}{2} \ \ \frac{7\pi}{12} \ \ \frac{2\pi}{3}\\ r \ \ 0 \ \ \frac{\sqrt{2}}{2}a \ \ a \ \ \frac{\sqrt{2}}{2}a \ \ 0 \ \ -\frac{\sqrt{2}}{2}a \ \ -a \ \ -\frac{\sqrt{2}}{2}a \ \ 0$

图像变换

$红r=4sin(3\theta),蓝r=2sin(6\theta)$

$红r=2sin(3\theta),蓝r=2(1-sin(3\theta))$

阿基米德螺线

$r=a\theta(a>,0,\theta\ge0)$

图像

$r=\theta,(0<\theta<6\pi)$

伯努利双纽线

$r^2=a^2cos2\theta$

画图

$r^2=2^2cos2\theta$

直角坐标系法

将极坐标的表达式使用基本方程的方法画出图像，再转化为极坐标图像

$r=1-cos\theta$

对数螺线

$r=e^{0.3\theta}$

参数方程

摆线（平摆线）

$\begin{cases} x=r(1-sint)\\ y=r(1-cost) \end{cases}$

图像

$\begin{cases} x=1-sint\\ y=1-cost \end{cases}$

星形线（内摆线）

$\begin{cases} x=rsin^3t\\ y=rcos^3t \end{cases}\\ 消去t的直角坐标方程: x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$

图像

$\begin{cases} x=sin^3t\\ y=cos^3t \end{cases}$

数列

等差数列

$首项为a_1，公差为d(d\ne0),a_1,a_1+d,a_1+2d,...,a_1+(n-1)d,...\\ 通项：a_n=a_1+(n-1)d\\ 前n项和：S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

等比数列

$首项为a_1,公比为r(r\ne0),a_1,a_1r,a_1r^2,...,a_1r^{n-1},...\\ 通项：a_n=a_1r^{n-1}\\ 前n项和S_n=\begin{cases} na_1,r=1\\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r},r\ne1 \end{cases}\\ 常用1+r+r^2...+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r},(r\ne1)$

常见数列

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+...+\frac{1}{n\times(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

裂项相消

$1+\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}...+\frac{1}{n·(n+1)}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\ =2-\frac{1}{n-1}$

三角函数

三角函数表

诱导变换

$sin(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=cos\alpha\\ cos(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp sin\alpha\\ sin(\pi\pm\alpha)=\mp sin\alpha\\ cos(\pi\pm\alpha)=-cos\alpha\\ 奇变偶不变，符号看象限，\frac{k\pi}{2}奇偶看k，看前面的象限符号$

关系式

$csc\alpha=\frac{1}{sin\alpha},sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha},cot\alpha=\frac{1}{tan\alpha},tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha},cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1,1+tan^2\alpha=sec^2\alpha,1+cot\alpha=csc^2\alpha$

和差公式

$sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha cos\beta\pm cos\alpha sin\beta\\ cos(\alpha\pm\beta)=cos\alpha cos\beta\mp sin\alpha sin\beta\\ tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}\\ tan(\alpha\pm\beta)=\frac{cot\alpha cot\beta\mp1 }{cot\alpha \pm cot\beta}$

倍角公式

$sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha,cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1\\ sin3\alpha=-4sin^3\alpha+3sin\alpha,cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\\ tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha},cot2\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha}$

半角公式

$sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-cos\alpha),cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1+cos\alpha)\\ sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}},cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}\\ tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}\\ cot\frac{\alpha}{2}=\frac{sin\alpha}{1-cos\alpha}=\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}}$

积化和差公式

$sin\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]\\ cos\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)]\\ cos\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]\\ sin\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$

和差化积公式

$sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ sin\alpha-sin\beta=2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}\\ cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ sin\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\$

万能公式

$若u=tan\frac{x}{2}(-\pi<x<\pi)，则sinx=\frac{2u}{1+u^2},cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}$

导数

导数严格大于零，函数严格单调增，必有反函数

基本求导公式

$C'=0\\ (x^u)'=ux^{u-1}\\ (tanx)'=(secx)^2\\ (cotx)'=-(cscx)^2\\ (secx)'=secxtanx\\ (cscx)'=-cscxcotx\\ (ln|x|)'=\frac{1}{x}\\ log_a^x=\frac{1}{alnx}\\ (ln(x+\sqrt{x^2+1}))'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}\\ (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$

基本积分表

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

极限

无限趋近的过程

$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}=1$

证明上面数列第n项：

第n项与1之间的距离如下

$|\frac{n}{n+1}-1|=\frac{1}{n+1} \\ 让距离在(0,\epsilon),\frac{1}{n+1}<\epsilon\\ 则n>\frac{1}{\epsilon}-1\\ 从数列第N项开始,N>\frac{1}{\epsilon}-1都会保持与1的距离小于\epsilon\\ |\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon$

三步证明

$|x_n-a|<\epsilon\\ 反解出n>g(\epsilon)\\ 取N=[g(\epsilon)]+1 \ (意思是取整后加1)\\(n>N)$

例题：

$定义证明\lim_{n \to \infty}[1+\frac{(-1)^n}{n}]=1\\ 证：(1)距离|1+\frac{(-1)^n}{n}-1|<\epsilon\\ (2)\frac{1}{n}<\epsilon反解n>\frac{1}{\epsilon}\\ (3)取N=[\frac{1}{\epsilon}]+1\\ 故当n>N时，n>\frac{1}{\epsilon}使|1+\frac{(-1)^n}{n}-1|<\epsilon$

数列极限定义

一数列，有常数a，对于任意ϵ>0，总有N，当n>N时|数列-a|<ϵ，则a是数列的极限，或数列收敛与a

如果没有a则数列是发散的

$\lim_{n \to \infty}x_n=1或x_n->a(n->\infty)\\ 常用语言\epsilon-N：\lim_{n \to \infty}x_n=a，\forall\epsilon>0,\exists N>0,当n>N时，衡有|x_n-a|<\epsilon$

∀是Arbitrary，∃是Exists

例题：

$证明：若\lim_{n \to \infty}a_n=A,则\lim_{n \to \infty}|a_n|=|A|\\ 证，\forall\epsilon>0,\exists N>0,当n>N时,|a_n-A|<\epsilon\\ 由不等式||a|-|b||\le|a-b|\\ ||a_n|-|A||\le|a_n-A|<\epsilon\\ 所以\lim_{n \to \infty}|a_n|=|A|成立\\ 倒着推不一定成立，因为极限的唯一性$

拓展

$\lim_{n \to \infty}a_n=0<=>\lim_{n \to \infty}|a_n|=0\\ 夹逼准则使用绝对值可以省去证明后面的$

子数列

子数列来自数列，将偶数或奇数项变成子数列

• 如果数列收敛，其任何子数列都收敛
• 但凡有一个子数列发散，数列就发散
• 如果俩个子数列收敛值不同，则数列就发散

性质

定理1：唯一性，给出极限时唯一的

定理2：有界性，极限有界

定理3：保号性，去掉lim的帽子符号保持不变(脱帽法)

$\lim_{n \to \infty}a_n=a>0=>a_n>0(n>N)$

保号性拓展(戴帽法)，一定要带等号

$\underbrace{a_n>0,且\lim_{n \to \infty}a_n=a}\\ a\ge0$

极限运算规则

$若：\lim_{n \to \infty}x_n=a，\lim_{n \to \infty}y_n=b\\ 则(1)\lim_{n \to \infty}(x_n\pm y_n)=a\pm b\\ (2)\lim_{n \to \infty}x_ny_n=ab\\ (3)b\ne0,y_n\ne0\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$

例题

$设\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=1,\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=3,证\{a_n\}\{b_n\}存在并求值\\ \begin{cases} u_n=a_n+b_n,\lim_{n \to \infty}u_n=1 \\ m_n=a_n-b_n,\lim_{n \to \infty}m_n=3 \end{cases}\\ \lim_{n \to \infty}(u_n+m_n)=\lim_{n \to \infty}2x_n=2\lim_{n \to \infty}x_n=4\\ \lim_{n \to \infty}a_n=2\\ \lim_{n \to \infty}(u_n-m_n)同理\lim_{n \to \infty}b_n=-1$

误区

$上面的题目容易直接使用法则运算\\\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=\lim_{n \to \infty}a_n+\lim_{n \to \infty}b_n\\其实不确定\lim_{n \to \infty}a_n 或 b_n是否存在\\ 如果a_n=(-1)^n,b_n=-(-1)^n+1极限都不存在$

夹逼准则

$如果数列\{y_n\}\{x_n\}\{z_n\}满足下列条件\\ y_n<x\le z_n;\lim_{n \to \infty}y_n=a,\lim_{n \to \infty}z_n=a\\ 则\lim_{n \to \infty}x_n=a$

不纠结等号

例题

$求极限\lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n})\\ \frac{n^2}{n^2+n}<\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i}<\frac{n^2}{n^2+1}\\ \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1 \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2+n}=1\\ 即\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i}=1\\ 所以\lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n})=1$

单调有界准则

单调有界数列必有极限

见到递推式a_n+1=f(a_n)，一般用这个

例题

$设数列\{x_n\}满足0<x_1<\pi,x_{n+1}=sinx_n,证明\lim_{n \to \infty}x_n存在并求该极限\\ 证：n取1时,x_2=sinx_1根据不等式sinx_1<x_1\\ 设x_n=sinx_{n-1}<x_{n-1},x_2<x_1可推出x_n<x_1\\ 所以0<x_{n+1}=sinx_n<\pi\\ 故{x_n}单调递减有下界0=>\lim_{n \to \infty}x_n存在记为A=>A=sinA=>A=0\lim_{n \to \infty}x_n=0$

函数极限

邻域

以点x为中心的任何开区间称为x的邻域，去心邻域是不包括x

函数极限定义

设函数f(x)在点x₀的某一去心邻域有定义，若存在常数A，对任意给定的ϵ，总有正数δ使得0<|x-x₀|<δ时，f(x)满足|f(x)-A|<ϵ，A是f(x)当x->x₀时的极限

$\lim_{x \to x_0}f(x)=A或f(x)->A(x->x_0)\\ 常用语言\epsilon-\delta：\lim_{x \to x_0}f(x)=A，\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,当0<|x-x_0|<\delta时，衡有|f(x)-A|<\epsilon\\ 常用语言\epsilon-X：\lim_{x \to \infty}f(x)=A，\forall\epsilon>0,\exists X>0,当|x|>X时，衡有|f(x)-A|<\epsilon$

单侧极限

$左极限\lim_{x \to x_0^-}f(x)=A或f(x^-_0)\\ 右极限\lim_{x \to x_0^+}f(x)=A或f(x^+_0)\\ 充要条件\lim_{x \to x_0}f(x)=A<=>\lim_{n \to x_0^-}f(x),且\lim_{x \to x_0^+}f(x)\\$

函数极限性质

唯一性

局部有界性

$\lim_{x \to x_0}f(x)=A则有正常数M和\delta,当0<|x-x_0|<\delta,有|f(x)|\le M\\ \lim_{x \to x_0}f(x)=A=>|f(x)|\le M，不能反推\\ f(x)在[a,b]上连续 ，f(x)在[a,b]上有界\\ 有界函数和有界函数的和，差，积仍是有界函数(有限个)\\ 若f'(x)在有限区间(a,b)内有界，则f(x)在该区间内有界$

局部保号性

$若\lim_{x \to x_0}f(x)=A>0,则x->x_0时，f(x)>0\\ limf(x)=1,意思是不管多大区间f(x)都待在1旁边\\$

脱帽法:

$\lim_{x \to x_0}f(x)=A<=>f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x \to x_0}\alpha(x)=0$

戴帽法：

$\\\underbrace{若f(x)\ge0,且\lim_{x \to x_0}f(x)=A}\\ A\ge0$

自变量取值的双向性，因为极限的唯一性所以两个值的都不存在，遇到指数函数，绝对值，反三角函数，取整函数，都要分开讨论。

$\lim_{x \to \infty}e^x,\lim_{x \to -\infty}e^x=0,\lim_{x \to +\infty}e^x=+\infty,所以不\exists\\ \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{|x|},\lim_{x \to 0^+}\frac{sinx}{x}=1,\lim_{x \to 0^-}\frac{sinx}{-x}=-1,所以不\exists\\ \lim_{x \to \infty}arctanx,\lim_{x \to -\infty}arctanx=-\frac{\pi}{2},\lim_{x \to +\infty}arctanx=+\frac{\pi}{2},所以不\exists\\ \lim_{x \to 0}[x],\lim_{x \to 0^+}[x]=0,\lim_{x \to 0^-}[x]=-1,所以不\exists$

例题

$设a为常数，且\lim_{x \to 0}(\frac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a·arctan\frac{1}{x})存在，求a的值，并计算极限 。\\ 解：极限中有指数所以有双向性\\ \lim_{x \to 0^+}(\frac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a·arctan\frac{1}{x})\\ 看次数最大的比值=\lim_{x \to 0}(\frac{0·e^{(\frac{1}{x})^2}+1+e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{(\frac{1}{x})^2}+1}+a·arctan\frac{1}{x})\\ =\frac{0}{1}+a·\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}a\\ \lim_{x \to 0^-}(\frac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a·arctan\frac{1}{x})\\ =\frac{-\pi}{1}+a·-\frac{\pi}{2}=-\pi+-\frac{\pi}{2}a\\ 因为极限存在所以唯一\\ \frac{\pi}{2}a=-\pi+-\frac{\pi}{2}a\\ a=-1\\ \lim_{x \to 0}(\frac{e^{\frac{1}{x}}-\pi}{e^{\frac{2}{x}}+1}+a·arctan\frac{1}{x})=-\frac{\pi}{2}$

极限运算规则

$若\lim f(x)=A,\lim gx()=B，那么\\ \lim[kf(x)\pm lg(x)]=k\lim f(x)\pm l\lim g(x)=kA\pm lB,(k,l为常数)\\ \lim[f(x)·g(x)]=\lim f(x)·\lim g(x)=A·B\\ \lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n,(n为正整数)\\ \lim \frac {f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B},(B\ne0)$

夹逼准则

$如果函数f(x)，g(x)好人h(x)满足\\ g(x)\le f(x) \le h(x)\\ \lim g(x)=A,\lim h(x)=A\\ 则\lim f(x)存在，且\lim f(x)=A$

洛必达法则

$当\lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}是\frac{0}{0}型即f'(x)F'(x)都是0\\ 且F'(x)\ne 0,\lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在或无穷大\\ 则F'(x)\ne 0,\lim_{x \to a/\infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$

$当\lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}是\frac{\infty}{\infty}型即f'(x)F'(x)都是0\\ 且F'(x)\ne 0,\lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在或无穷大\\ 则F'(x)\ne 0,\lim_{x \to a/\infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x \to a/\infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$

泰勒公式

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\\ arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3),\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$

$狗-sin狗=\frac{1}{6}狗^3$

无穷小运算规则

• 有限个无穷小的和是无穷小
• 有界函数数与无穷小的乘积是无穷小
• 有限个无穷小的乘积是无穷小

$o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^{min\{m,n\}})(加减法低阶吸收高阶)\\ o(x^m)· o(x^n)=o(x^{m+n})/x^m· o(x^n)=o(x^{m+n})(乘法阶乘累加)\\ o(x^m)=o(kx^m)=ko(x^m)k\ne 0 (非零常数相乘不影响)$

A/B型，适用于上下同阶原则，把分子分母展开到相同的次幂

A-B型，幂次最低原则，可以转化为A+(-B)，A和B分别展开到他们的系数不相等的x的最低次幂为止

题目一

$x->0,求x-sinx\\ sinx=1·x^1-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ x-sinx=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ x-sin->\frac{1}{6}x^3$

题目二

$x->0,求x+sinx\\ x-(-sinx)\\ -sinx=-1·x\\ x-(-sinx)=2x+o(x)\\ x+sinx=2x$

常用等价无穷小

$x->0\\ sinx->x,tanx->x,arcsinx->x,arctanx->x,ln(1+x)->x\\ e^x-1->x,a^x-1->xlna,1-cosx->\frac{1}{2},(1+x)^\alpha->1\alpha x,xlnx->0\\ \lim_{x \to 1}lnx=(x-1)\\ 使用等价代换sing(x)->g(x)则sinx^3->x^3$

无穷大无穷小都只是一个过程，任何数都不会是无穷大，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)是无穷小

$若\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{0}{0}=0,则\alpha(x)是比\beta(x)高阶无穷小，\alpha(x)=o(\beta(x))\\ 若\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{0}{0}=\infty,则\alpha(x)是比\beta(x)低阶无穷小\\ 若\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c\ne0,则\alpha(x)与\beta(x)同阶无穷小\\ 若\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1,则\alpha(x)与\beta(x)等价无穷小，\alpha(x)-\beta(x)\\ 若\lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=c\ne0,则\alpha(x)是\beta(x)k阶无穷小$

未定式

$\frac{0}{0}=\frac{\infty}{\infty}\\ 0·\infty=\begin{cases}\frac{1}{\infty}·\infty=\frac{\infty}{\infty}\\ 0·\frac{1}{0}=\frac{0}{0} \end{cases}\\ 设置分母简单因式(x^\alpha,e^x)才下方，形成不稳定三角形。\\ \infty-\infty 和差化积\\ \infty^0,0^0,1^\infty=>u^v=e^{vlnu}=\begin{cases} \infty^0->e^{0·\infty}\\ 0^0->e^{0·\infty}\\ 1^\infty->e^{\infty·0} \end{cases}$

归结原则

设f(x)在U(x_0,\delta)内有定义\\ 则\lim_{x \to x_0}f(x)=A存在<=>对任何U(x_0,\delta)内以x_0为极限的数列\{xn\},极限\lim_{x \to \infty}=A存在\\ \lim_{x \to x_0}f(x)=A存在<=>\lim_{x \to \infty}=A存在\

题目一

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{100}}不能使用洛必达，头轻脚重，换成到三角形\\ x^{-2}=t，则\lim_{t \to 0}=\frac{e^{-t}}{t^{-50}}=\frac{t^{50}}{e^t}洛必达=\frac{0}{e^t}=0$

题目二

$\lim_{x \to -\infty}x(\sqrt{x^2+100}+x)=x\frac{x^2+100-x^2}{\sqrt{x^2+100}-x}=\frac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}\\ x=-t.则\lim_{x \to +\infty}=\frac{-100x}{\sqrt{x^2+100}-x}=\frac{-100}{\sqrt{1+\frac{100}{x^2}}+1}=-50$

题目三

$\lim_{x \to 0^+}xlnx=\frac{lnx}{x^{-1}}洛必达=\frac{x^{-1}}{x^{-2}}=x=>0$

题目四

$\lim_{x \to 1^-}lnxln(1-x)画图=(1-x)ln(1-x)\\ t=(1-x),则\lim_{t \to 0^+}tlnt=0·-\infty=0$

题目五

$\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx-arctanx}{sinx-tanx}泰勒=\frac{x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)-[x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)]}{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-[x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)]}=\frac{-\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2}}=3-1$

函数连续与间断

连续点

函数在某去心邻域有定义

$函数f(x)在点x_0的某一邻域内有定义，且有\lim_{x \to x_o}=f(x_0),则函数有在x_0处连续$

间断点

函数在某去心邻域有定义

**可去间断点：**极限有定义且函数存在（或函数无定义）但是两者不等。可以补充定义使得连续，故又叫可补间断点

**跳跃间断点：**左极限和右极限都存在但不等故极限不存在，称为跳跃间断点

无穷间断点

$若\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty,则这类间断点称为无穷间断点，如函数y=\frac{1}{x},点x=0处为无穷间断点。$

振荡间断点

$若若\lim_{x \to x_0}f(x)震荡不存在，称这类间断点为振荡间断点，如y=sin\frac{1}{x},x=0无定义$

题目一

讨论间断点看两类点

• 分段函数的分段点
• 无定义点

$设函数f(x)=\frac{ln|x|}{|x-1|}sinx,则f(x)间断点是\\ x=1,x=0时无定义f(1)不存在f(0)不存在\\ \lim_{x \to 1}\frac{lnx}{|x-1|}sinx=\begin{cases}x \to 1^+\to sin1\\x \to1^-\to -sin1\end{cases}\\ x=1是跳跃间断点\\ \lim_{x \to 0}\frac{ln|x|}{1}·sinx\\ \lim_{x \to 0}xlnx=0\\ x=0是可去间断点$

拉格朗日中值定理

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

其他公式

极限变换公式

$（1），e^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}[e^{f(x)-g(x)}-1]等价f(x)-g(x)$

华里士公式

$\int^\frac{\pi}{2}_0sin^{6}xdx=\frac{5}{6}·\frac{3}{4}·\frac{1}{2}·\frac{\pi}{2}\\ \int^\frac{\pi}{2}_0cos^{5}xdx=\frac{4}{5}·\frac{2}{3}$